[컨슈머와이드-김민정블로거] 길이의 나누기에서 우리가 얘기한 것은 무한이라는 영역을 생각할 때 길이도 나누기가 가능하고 빼어서 나머지가 0이 되도록 하는 것이 가능하다고 하였다. 이것이 없어지는 것이 아니라 사라져서 무한의 영역에서 존재하게 된다는것이었다.
 
이번 시간에는 없는 것을 있는 것처럼 없는 듯한 있는 것 있는 듯한 없는 것을 발견하게 된 넓이의 나누기에 대해 얘기해 보고자 한다.

길이의 나누기가 가능하다면 넓이의 나누기도 가능할까?
이것을 시행에 옮겨본 사람은 폴란드의 수학자 시어핀스키이다.
시어핀스키는 정삼각형을 똑같이 4등분 한 후 가운데 것을 빼내고, 또 나머지 삼각형들을 4등분하여 가운데 것을 빼내는 방법을 무수히 반복하여 나머지가 ‘0’이 되게 하는 넓이의 나누기를 해보았다.

여기에서 삼각형의 각 단계의 넓이를 생각해 보자.

여기에서도 숫자의 영역에서는 0에 가깜게 가기는 하지만 ‘0’은 아니다. 무한의 영역으로 가서야 나머지가 0이 되는 것이다.
그러나  이런 과정을 이론으로 살펴보다 보면 신기하다. 눈에 보이는 삼각형이 사라지는 것이다.
있는데 없다고 한다. 그리고 없는데 무한히 많다. 더 놀라운 사실은 넒이가 ‘0’이 되는 무한의 영역에서 시어핀스키의 삼각형의 둘레의 길이는 무한대가 된다.

처음 정삼각형의 둘레의 길이를 L 이라 할 때, 2단계의 삼각형의 둘레의 길이는 처음 삼각형의 둘레의 길이에 빼낸 삼각형의 둘레의 길이가 더하여 지므로 처음 길이의 1.5배가 된다.
이를 무한대 반복하면 길이는

로  무한대가 된다.
결국 무한의 영역으로 길이와 넓이를 확장했을 때, 무한의 길이에 넓이는 ‘0’ 이라는 이해 할 수 없는 일이 일어난다. 그러나 유한한 사람의 머리로 신의 영역인 무한을 생각한다는 것 자체가 신기한 것이다. 사라지는 것은 없어지는 것이 아니라 신의 영역으로 옮겨져서 쌓이고 있는것이다.

신의 영역으로 옮겨지는 도형이 있는 반면 신의 영역에서 가져와 세상에서  무수히 반복시켜 새롭게 나타나고 있는 도형도 있다.
이와 같은 자기 반복성의 특징을 가진 도형을 프랙탈 이라고 한다. 그중 코흐의 눈꽃 곡선이 있다.

다음 시간에는 길이의 나누기로 길이를 확장 시키는 코흐의 눈꽃 곡선과 자기반복성의 도형 프랙탈에 대해서 얘기해 보고자 한다.