[컨슈머와이드-김민정 블로거] 나눗셈을 하여 나머지가 ‘0’ 이 될 때까지 나누는 것을 목표로 분수도 나누고 소수도 나누어 보았다. 나누기는 숫자만 할 수 있는것일까?
길이 뿐만 아니라 넓이도 나누기가 가능하다. 수학자 중에도 이것을 생각해 연구한 사람이 있었다. 이번 시간 부터는 길이의 나누기 넓이의 나누기를 얘기해보고자 한다.

먼저 길이의 나누기
숫자처럼 눈에 보이는 길이도 나누기가 가능할까? 이 생각을 행동에 옮긴 사람이 칸토어 이다. 그는 길이를 무수히 나누었을 때 그 나머지가 0이 될 수 있다는 것을 발견하였다.
길이의 나눗셈은 몫과 나머지 개념이 아닌 나누고 일부를 빼내는 방법을 사용하였고 길이의 빼기를 시도하여 나머지가 ‘0’이 되도록 만들어 갔다. 그러나 수와는 달리 길이가 눈에 보이지만 없어지게 하는 것이 가능할까?

먼저 길이가 1인 직선 1개를 3등분 한다. 그리고 가운데 길이를 빼고 나머지 2/3를 다시 3등분씩 한다. 그리고 또 가운데 1/3등분을 빼내고 또 다시 3등분한 후 1/3을 빼는 방법을 무한히 반복하는 것이다. 이렇게 하면 나머지는 ‘0‘이 된다.

이렇게 되기 위해서는 무한의 시간이 필요하고 무한이라는 새로운 영역이 필요하다. 숫자에서 길이로 가는 동안 우리는 가시적인 영역에서 눈에 보이지 않는 새로운 영역인 무한의 영역으로 문을 열고 들어가게 되는 것이다.

이와 같은 방법으로
이렇게 빼서 모아진 수가 칸토어집합이다. 칸토어 집합을 만드는데 각 단계에서 빠지는 길이는 차례로 1/3, 2/9, 4/27, 8/81 ....이다. 이렇게 빠진 길이를 모두 합하면 등비수열이 되므로 그 합은 1이다. 즉 무한번 시행한 후의 칸토어의 집합의 길이는 0이 되는 것이다.
길이를 나누었을 때 그 나머지가 0이 된다는 것은 매우 놀랍다. ‘없다‘의 ‘0’의 개념에서 ‘사라진다‘ 는 ’0‘ 개념이 된 것이다. 그렇다면 어디로 사라지는가? 바로 무한의 영역으로 사라진다는 것이다.
점으로 불리우는 먼지는 길이가 0이고 위치만 있는 도형이다. 그 점의 길이인 0 이모여서  1이 된다는 것이다. 이게 가능할까? 수학의 영역에서는 생각할 수 없는 것을 무한의 영역으로 확대 했을 때 문제가 해결된다. 0=∞라는 것을 사람들이 어떻게 이해할까? 칸토어의 시대에도 그가 무한대에 대해 학계에 발표 했을 때 많은 반발과 심한 핍박을 받았다. 그러나 칸토어가 발표한 논문으로 인해 무한의 영역을 수학의 영역으로 받아들이면서 현대 수학의 기초가 놓이게 되었다. 극한도 무한히 반복한다는 것이지 무한대는 아니다.

‘א₀’ 을 ‘알레프-제로’라고 부른다. 이것은 히브리어의 첫 글자로 신의 영역인 무한대를 일컬을 때 사용한다. 수학에서 도저히 증명할 수 없을 때 그것을 신의 영역에서만 가능하다라고 말한다. 칸토어는 이런 칸토어 먼지들을 집합으로 생각했고 모든 집합을 부분집합으로 갖는 집합을 생각하면서 모든 것을 포함 하는 집합은 세상에 없고 오직 무한대의 영역에서만 가능하다고 했다.

그러나 무한이 보이지 않는 것은 아니다. 누누을 들어서 하늘을 보면 무한히 높이 있는 곳에 별이 떠있고 빛도 볼수 있다. 무한은 이미 우리 삶속에 있을지도 모른다.
나누기에는 이렇듯 비밀이 숨겨져있다. 다음시간에는 없는 것을 있는 것처럼 없는 듯한 있는 것 있는듯한 없는 것을 발견하게 된 넓이의 나누기에 대해 얘기해 보고자 한다..